“预学后教”在“探究规律”类课堂教学中的新尝试

“探究规律”是小学数学中一个比较特殊的学习内容.主要是指在一定的情境下,对一个或一组数学现象进行观察分析,从“变化”的现象中发现“不变”规律的一种数学学习内容.在教材中它有两种存在形式:一是以单元形式存在的,如人教版中的“数学广角”“运算定律”等;二是渗透在各个单元中的专题,如积的变化规律、商的变化规律等.不论是哪一种形式,就内容的教学过程而言,其目的不仅在于通过探究获得“结论”,更重要的是在探究过程中学习探究的经验与探究的策略.因此,笔者认为,“探究规律”类课的教学,要为学生提供合理的素材,让学生在独立思考、自主探究的基础上,通过小组交流、集体反馈的形式总结规律,并从策略的迁移与规律的应用两个方面组织进一步的学习.“预学后教”的教学策略可以实现这样的教学.下面以“商的变化规律”的教学为例,阐述具体的做法.

一、独立思考,观察验证形成初步结论

小学数学中探究的“规律”,一般是一些简单的现实问题或数学现象.如人教版一下的“找规律”,它的观察素材就是一些按照一定规律排列的“实物”、“图形”或“数字”.如下图,用小棒摆成的“正方形”与“三角形”是半抽象的图形,从左往右看可以看出它们重复变化的规律.下面填写的数,则表示小棒的根数,同时也可以独立地看成抽象的数,通过观察又可以发现数的重复变化的规律.这样的情境与问题适合于一年级学生的思考与推理.随着年级的升高,学生学习经验的积累,情境可以变得更加复杂与抽象、问题可以变得更加富有挑战性,从而可以让学生经历一个更加完整的观察与分析、抽象与概括的过程.

四上的“商的变化规律”,是在学生已经学习了表内除法、除数是一位数、两位数除法之后教学的,而且之前又有了研究“积的变化规律”的学习经验.如何让学习基础与活动经验得到自然地流露?教师可以让学生通过“预学”作业,引导学生通过观察形成猜想,再进一步举例验证猜想.具体的预学作业设计如下:

“商的变化规律”预学单

同学们已经在第三单元学习过积的变化规律,那么商的变化规律是怎样的呢?试着完成预学案,然后我们一起来交流.

1.我口算;

2.我猜想: 观察左边的口算题,我猜想等

200÷2等于 60÷20 等于

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200÷20等于 60÷10 等于

200÷40等于 60÷2 等于

3.我验证:根据我的猜想,填一填,算一算,我觉得等

上面的一组题目,学生在课始用5分钟左右时间独立完成.

对“商的变化规律”的探究,是培养学生的数感、渗透函数思想的重要契机.与教材例题相比较,把学习素材再往回退了一步,即把例题中的框架式还原为相互独立的口算题,让学生在计算的过程中,自然地进行抽象概括,提出猜想.

就小学而言,学生探究规律的主要方法是不完全归纳法.严格意义上讲,这样得到的规律还只是一种猜想,需要通过严格的证明才可以成为一般的规律.但是,根据小学生的思维水平,验证的策略往往是列举更多的例子,虽然这样的验证方式不能形成严格的证明.并且,由于学生认知水平与观察角度的不同,不同的学生提出的猜想会不尽相同,从而形成了真实丰富的学习资源.

二、交流反馈,互助完善总结数学规律

独立思考,自主预学,充分展示了每一位学生的认知情况.教师通过巡视,收集学生中的一些典型做法,组织学生小组交流,在辨析的过程中,完善原有的做法,进而总结出规律,这就是“探究规律”“预学”之后的“教”的策略.

(一)收集典型例子

学生在预学过程中发现的“规律”,基本上都带有个体的、主观的色彩.对于这些“规律”,教师不是指名让个别学生发表意见,或直接小组讨论,而是展示教师在巡视中收集到的几种典型例子,要求这几位学生把过程抄录在展示的题板上.用题板展示学生的作业,张贴于黑板上,这样既有利于比较评价,也可以作为教学板书.


收集的典型例子一般可分为错误的、不完善的和基本正确的三类.预学作业放在课前,会有比较充足的筛选时间,如果在课内,就需要教师在课前有充分的预设,大致推测学生会有哪些不同的规律,不同规律可能会在怎样层次的学生中出现,使得学生在独立作业的过程中,教师能够尽快地寻找到相应的例子.

(二)辨析典型例子

学生在独立尝试探究规律时所形成的差异资源,抽取其中的典型例子进行展示,并且作为小组讨论辨析的题材.这样,小组交流更加具有针对性,也有利于集体反馈时有共同的话题.

如在“商的变化规律”教学中,笔者选择了三则典型的例子(如下图),请四人小组进行辨析:每一位同学在小组中说一说,你的想法与哪一种猜想相近,你是怎样想的?再共同讨论,哪一种猜想更加准确?你们是不是还有其他更好的发现?最后在小组中讨论,把最合理的猜想用具体的例子进行说明,并写在展板上.

(三)反馈讨论结果

社会建构主义认为,虽然知识学习是个体主动建构的过程,但这种建构也不是随意的建构,而是需要与他人磋商并达成一致来不断地加以调整和修正.组织小组辨析与集体反馈,为学生创设在教师组织参与下的相互交流讨论的机制,建构起凝聚着师生共同智慧的数学“规律”.

集体反馈时,以小组为单位,可以请一位代表发言,也可以请多位同学相互合作表述.如对于“商的变化规律”的三个例子,其中的一个小组由两位学生合作完成他们组的阐述.

生:我们组认为,这三种猜想都有道理,只是第一种说法还不够准确,第二种与第三种说法意思是相同的,但第三种把两句话合到了一起,更好一点.我们举的例子是(如下图)等

这时又上来了同组的两位学生,一位学生表述相应箭头间两个数的变化情况,一位学生指点辅助.

由于小组交流的题材相同,更加容易引起同学间的共鸣.填写的数可能是不同的,学生在听完这个小组的讲述后,用自己所列举的例子进行验证.规律就在这样的评述中得到了明晰. 三、策略迁移,积累经验发现数学规律

《数学课程标准(2011年版)》在课程总目标中明确地提出了基础知识、基本技能、基本思想与基本活动经验这样的“四基”学习目标.“探究规律”类的学习过程,更需要强调后两个目标的达成.需要教师在引导学生探究出规律之后,进一步创设情境,让学生把在探究规律中所获得的学习经验在新的情境中加以检验,逐步形成更加一般的数学活动经验.

如在上述“商的变化规律”的案例中,学生之所以能够比较好地发现“当被除数不变时,除数与商的变化规律”,得益于在探究“积的变化规律”中积累的经验.在此基础上,学生进一步研究商的其他两种变化规律时,可以以小组为单位,分工合作,应用前面积累的经验再一次经历“举例―猜想―验证―结论”这样一个探究发现的过程(如下图).

4.我有新猜想

根据“我猜想”,在下面填上合适的数.再观察,我有新猜想等

上面的“预学”作业,先在组内分工完成,相互交流,再在班级中反馈.

数学活动经验积累的成功与否,需要在数学活动的背景下加以检验.上面的两个问题,笔者把研究的起点又往回退了一步,只提供两个模型,让学生依据之前的学习经验,自己填写数据,观察思考,概括出规律.

四、推广应用,充分发挥数学规律的价值

对于“探究规律”类课的练习设计,不仅要关注“规律”的充分应用,使学生体会到“规律”的价值,加深对“规律”的理解;还要关注“规律”探究过程中积累的经验再应用,使学生能够自主地发现更多的“数学规律”.基于这样的目标,在“商的变化规律”的练习设计时,教师可以安排如下三个层次的练习.

第一层次:规律的简单应用

1.从上到下看,根据第1题的商,写出余下两题的商.

64÷8等于8 6300÷7等于900 100÷25 等于4

640÷8等于80 6300÷70等于 200÷50 等于

6400÷8等于 6300÷700等于 1000÷250 等于

以小组为单位,先独立完成,然后在小组中进行交流,说明理由.然后以小组为单位进行汇报.

第二层次:规律的自觉应用

2.选择合理的方法计算出下面各题的得数.

120÷30等于 5600÷80等于 65100÷210等于 65200÷210等于

学生独立完成,校对答案时要求学生说出思路与依据.

第二组题目与第一组题目相比,更加注重对“商的变化规律”的自觉应用,在计算方法的选择上,留有一定的空间,前面的两个题目,学生可以应用“商的变化规律”进行口算,第3、4题则需要选择竖式计算,且第4题要关注简算后余数如何处理,可以在一般竖式与与简算竖式的比较中理解简算后余数的特征.

第三层面:探究新的规律

3.在下面的方格中填上合适的数,并推测在减法中“差的变化规律”.

在四人小组中合作学习.组内分工,每位学生研究其中的一种规律,然后在小组中分享成果,再以小组为单位集体交流小组合作的成果.

数学是研究数量关系与规律的科学.“探究规律”的学习方式,也隐含在其他数学内容的学习过程中,如图形面积计算公式的推导、计算法则的总结等等.因此,对于“预学后教”为基本特色的“探究规律”类的研究与实践,对于体现“学为中心”的课堂教学有着积极的意义.

(浙江省杭州市萧山区教育局教研室 311200)