关于矩阵标准形方法的综述

摘 要 :本文详细论述了矩阵的等价标准形、相似标准形、合同标准形的基本理论及其在解决矩阵问题中的应用.并对标准型的思想进行详细阐述,通过对标准形思想的探讨,总结出矩阵标准形体现出的思想内涵,即分类的思想,不变量的思想,化简的思想,分解的思想,并用以证明一些高等代数或线性代数中的重要结论.

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关 键 词 :矩阵,等价标准形,相似标准形,合同标准形

现行代数研究的主要是有限生成自由模的同态(特别是研究有限维向量空间的线性变换).这些同态与矩阵之间存在相互依赖的关系.由于研究表达同一个同态(对于不同的基)的两个矩阵之间的联系,产生矩阵的等价和相似的概念,因而导出若干等价标准形.而标准形的思想在矩阵代数的若干重要结论中起着很大的简化作用.因此,对矩阵标准形方法思想内涵的研究十分必要.

本文将研究这些标准形的思想内涵以及它们在解决线性代数问题中所起的作用.并对标准形这一思想进行详细阐述.利用标准形的思想可以对矩阵进行分类,找到相应的类代表也就是标准形,从而使问题简化,以解决在高等代数等学科中的具体问题.

等价关系是高等代数中的基本理论,也是矩阵研究中的一个最基本的理论之一.我们利用矩阵的等价标准形,可以解决矩阵研究中的很多问题,比如满秩的分解等问题.我们都可以从矩阵的等价标准形出发,由浅入深的进行探讨、论述矩阵的相关问题.